If a financial instruments intermediary service provider falls under any of the following items, the Prime Minister may rescind its Article 66 registration, order the suspension of all or part of the business during a fixed period of no longer than six months, order a change of business methods, or issue orders with respect to matters that are otherwise necessary from a supervisory perspective:
the financial instruments intermediary service provider comes to fall under any of the categories in the items of Article 66-4 (excluding item (ii), (b));
the financial instruments intermediary service provider receives its Article 66 registration by wrongful means; or
不正の手段により第六十六条の登録を受けたとき。
the financial instruments intermediary service provider violates a law or regulation or a disposition made by a government agency which is based on a law or regulation, in connection with financial instruments intermediary services.
金融商品仲介業に関し法令又は法令に基づいてする行政官庁の処分に違反したとき。
If the officer of a financial instruments intermediary service provider comes to fall under any of the categories in Article 29-4, paragraph (1), item (ii), (a) through (i), or engages in an act that falls under item (iii) of the preceding paragraph, the Prime Minister may order the financial instruments intermediary service provider to dismiss that officer.
内閣総理大臣は、金融商品仲介業者の役員が、第二十九条の四第一項第二号イからリまでのいずれかに該当することとなつたとき、又は前項第三号に該当する行為をしたときは、当該金融商品仲介業者に対して、当該役員の解任を命ずることができる。
登録
銀行、協同組織金融機関その他政令で定める金融機関以外の者（第一種金融商品取引業（第二十八条第一項に規定する第一種金融商品取引業をいう。以下この章において同じ。）を行う者及び登録金融機関の役員及び使用人を除く。）は、第二十九条の規定にかかわらず、内閣総理大臣の登録を受けて、金融商品仲介業を行うことができる。
登録の拒否
内閣総理大臣は、登録申請者が次の各号のいずれかに該当するとき、又は登録申請書若しくはこれに添付すべき書類若しくは電磁的記録のうちに虚偽の記載若しくは記録があり、若しくは重要な事実の記載若しくは記録が欠けているときは、その登録を拒否しなければならない。
定義第二条第十一項・法令全体に適用
金融商品取引業者（第二十八条第一項に規定する第一種金融商品取引業（第二十九条の四の二第九項に規定する第一種少額電子募集取扱業務及び第二十九条の四の四第八項に規定する非上場有価証券特例仲介等業務を除く。）又は第二十八条第四項に規定する投資運用業（第二十九条の五第一項に規定する適格投資家向け投資運用業を除く。）を行う者に限る。）又は登録金融機関（第三十三条の二の登録を受けた銀行、協同組織金融機関その他政令で定める金融機関をいう。以下同じ。）の委託を受けて、次に掲げる行為（第二十八条第四項に規定する投資運用業を行う者が行う第四号に掲げる行為を除く。）のいずれかを当該金融商品取引業者又は登録金融機関のために行う業務
わかりやすく言うと
第一種金融商品取引業や投資運用業を行う金融商品取引業者（一部を除きます）又は登録金融機関の委託を受けて、その者のために、有価証券の売買の媒介、取引の委託の媒介、募集・売出しや私募などの取扱い、投資顧問契約などの締結の媒介のいずれかを行う業務のことです。
定義第二条第十二項・法令全体に適用
第六十六条の規定により内閣総理大臣の登録を受けた者
わかりやすく言うと
第六十六条により内閣総理大臣の登録を受けて、金融商品仲介業（金融商品取引業者や登録金融機関の委託を受けて有価証券の売買の媒介などを行う業務）を行う者のことです。
内閣総理大臣
内閣の首長です。国会議員の中から国会の議決で指名され、天皇が任命します（第六十七条第一項・第六条第一項）。国務大臣を任意に任命し罷免することができ、その過半数は国会議員でなければなりません（第六十八条）。国務大臣は、その在任中、内閣総理大臣の同意がなければ訴追されません（第七十五条）。
日本国憲法第6条・第67条・第68条・第75条、Wikipedia「内閣総理大臣」を参考にAIが作成。