An investment management-related services contractor must not entrust investment management-related services (limited to those for which the registration referred to in Article 66-71 or the registration of a change referred to in Article 66-75, paragraph (4) has been obtained for performing those services; the same applies in the following paragraph) to another person; provided, however, that this does not apply if it has obtained the approval of the Prime Minister.
投資運用関係業務受託業者は、他の者に投資運用関係業務（当該投資運用関係業務を行うことにつき第六十六条の七十一の登録又は第六十六条の七十五第四項の変更登録を受けているものに限る。次項において同じ。）を委託してはならない。ただし、内閣総理大臣の承認を受けたときは、この限りでない。
When an application for the approval referred to in the proviso to the preceding paragraph is filed, the Prime Minister is not to grant the approval only where it is found that the entrustment of investment management-related services (including entrustment at two or more degrees of separation) by the applicant for approval is likely to impede the appropriate performance of investment management business, etc. by the person that entrusted those investment management-related services to the applicant for approval.
変更登録等
投資運用関係業務受託業者は、第六十六条の七十二第一項第六号に掲げる事項について変更をしようとするときは、内閣府令で定めるところにより、内閣総理大臣の行う変更登録を受けなければならない。
再委託の禁止
投資運用関係業務受託業者は、他の者に投資運用関係業務（当該投資運用関係業務を行うことにつき第六十六条の七十一の登録又は第六十六条の七十五第四項の変更登録を受けているものに限る。次項において同じ。）を委託してはならない。ただし、内閣総理大臣の承認を受けたときは、この限りでない。
再委託の禁止
内閣総理大臣は、前項ただし書の承認の申請があつた場合には、投資運用関係業務の委託（二以上の段階にわたる委託を含む。）を行うことが承認申請者に当該投資運用関係業務を委託した者における投資運用業等の適確な遂行に支障を及ぼすおそれがあると認められるときに限り、承認しないものとする。
定義第二条第四十三項・この規定及び第二条第四十四項及び第六十六条の八十第二項の中だけ
投資運用業（第二十八条第四項に規定する投資運用業をいう。）、適格機関投資家等特例業務（第六十三条第二項に規定する適格機関投資家等特例業務をいい、同条第一項第二号に掲げる行為を行うものに限る。）又は海外投資家等特例業務（第六十三条の八第一項に規定する海外投資家等特例業務をいい、同項第一号に掲げる行為を行うものに限る。）
わかりやすく言うと
投資運用業と、適格機関投資家等特例業務・海外投資家等特例業務のうち、適格機関投資家等や海外投資家等から出資や拠出を受けた金銭を運用する行為に当たるものとを、まとめた呼び名です。
定義第二条第四十三項・法令全体に適用
投資運用業等（投資運用業（第二十八条第四項に規定する投資運用業をいう。）、適格機関投資家等特例業務（第六十三条第二項に規定する適格機関投資家等特例業務をいい、同条第一項第二号に掲げる行為を行うものに限る。）又は海外投資家等特例業務（第六十三条の八第一項に規定する海外投資家等特例業務をいい、同項第一号に掲げる行為を行うものに限る。）をいう。第一号及び次項並びに第六十六条の八十第二項において同じ。）に関して行う次に掲げる業務
わかりやすく言うと
投資運用業など（投資運用業と、一定の特例業務による金銭の運用）に関して行う業務のうち、運用している財産の評価額の計算に関する業務と、法令や定款などの規則を守らせるための指導に関する業務のことです。
定義第二条第四十五項・法令全体に適用
第六十六条の七十一の規定により内閣総理大臣の登録を受けた者
わかりやすく言うと
投資運用業などを行う者から委託を受けて、運用財産の評価額の計算や法令などを守らせる指導の業務を行うこと（投資運用関係業務受託業）について、内閣総理大臣の登録を受けた者のことです（第六十六条の七十一）。
内閣総理大臣
内閣の首長です。国会議員の中から国会の議決で指名され、天皇が任命します（第六十七条第一項・第六条第一項）。国務大臣を任意に任命し罷免することができ、その過半数は国会議員でなければなりません（第六十八条）。国務大臣は、その在任中、内閣総理大臣の同意がなければ訴追されません（第七十五条）。
日本国憲法第6条・第67条・第68条・第75条、Wikipedia「内閣総理大臣」を参考にAIが作成。