A person, who demands under the provisions of Article 10-3, paragraph (1) for payment of the basic allowance for a period for which the recognition of unemployment could not be obtained due to the death of the qualified recipient, must obtain the recognition of unemployment for the qualified recipient pursuant to the provisions of Order of the Ministry of Health, Labour and Welfare.
If a qualified recipient set forth in the preceding paragraph falls under the provisions of Article 19, paragraph (1), the person who is to be paid the unpaid part of the basic allowance pursuant to the provisions of Article 10-3, paragraph (1) must, as prescribed by Order of the Ministry of Health, Labour and Welfare, notify the amount of income referred to in Article 19, paragraph (1) and other matters to the chief of the Public Employment Security Office.
未支給の失業等給付
失業等給付の支給を受けることができる者が死亡した場合において、その者に支給されるべき失業等給付でまだ支給されていないものがあるときは、その者の配偶者（婚姻の届出をしていないが、事実上婚姻関係と同様の事情にあつた者を含む。）、子、父母、孫、祖父母又は兄弟姉妹であつて、その者の死亡の当時その者と生計を同じくしていたものは…
基本手当の減額
受給資格者が、失業の認定に係る期間中に自己の労働によつて収入を得た場合には、その収入の基礎となつた日数（以下この項において「基礎日数」という。）分の基本手当の支給については、次に定めるところによる。
未支給の基本手当の請求手続
第十条の三第一項の規定により、受給資格者が死亡したため失業の認定を受けることができなかつた期間に係る基本手当の支給を請求する者は、厚生労働省令で定めるところにより、当該受給資格者について失業の認定を受けなければならない。
略称規定第十五条第二項・この款の中だけ
前項の失業していることについての認定（以下この款において「失業の認定」という。）を受けようとする受給資格者は、離職後、厚生労働省令で定めるところにより、公共職業安定所に出頭し、求職の申込みをしなければならない。
わかりやすく言うと
受給資格者が失業している（働く意思と能力があるのに職業に就けない）ことを、公共職業安定所が認めることです。基本手当は、この認定を受けた日について支給されます。