A director (or, an executive officer, if the bank is a company with nominating committee, etc.) who is engaged in the day-to-day operations of a bank must not engage in the day-to-day operations of any other company without the authorization by the Prime Minister.
銀行の常務に従事する取締役（指名委員会等設置会社にあつては、執行役）は、内閣総理大臣の認可を受けた場合を除くほか、他の会社の常務に従事してはならない。
When an application is filed for the authorization referred to in the preceding paragraph, the Prime Minister must not grant the authorization unless the Prime Minister finds that the particulars given in the application are unlikely to interfere with the sound and appropriate management of the bank's services.
取締役等の兼職の制限
銀行の常務に従事する取締役（指名委員会等設置会社にあつては、執行役）は、内閣総理大臣の認可を受けた場合を除くほか、他の会社の常務に従事してはならない。
定義第二条第一項・法令全体に適用
第四条第一項の内閣総理大臣の免許を受けて銀行業を営む者
わかりやすく言うと
預金又は定期積金の受入れと資金の貸付け又は手形の割引を併せて行うこと、又は為替取引を行うこと（銀行業）を、内閣総理大臣の免許を受けて営む者のことです。
取締役
株式会社の役員の一つで、株主総会の決議で選任されます（会社法第三百二十九条第一項）。株式会社には一人以上の取締役を置かなければなりません（第三百二十六条第一項）。取締役会を置かない会社では、定款に別段の定めがない限り取締役が業務を執行し（第三百四十八条第一項）、代表取締役など会社を代表する者を定めていなければ各自が会社を代表します（第三百四十九条第一項・第三項）。取締役会を置く会社では、取締役全員で取締役会を構成し、取締役会が業務執行を決定して、原則として取締役の中から代表取締役を選びます（第三百六十二条）。任期は原則として、選任後二年以内に終了する事業年度のうち最終のものに関する定時株主総会の終結の時までです（第三百三十二条第一項）。
会社法第326条・第329条・第332条・第348条・第349条・第362条、Wikipedia「取締役」を参考にAIが作成。
内閣総理大臣
内閣の首長です。国会議員の中から国会の議決で指名され、天皇が任命します（第六十七条第一項・第六条第一項）。国務大臣を任意に任命し罷免することができ、その過半数は国会議員でなければなりません（第六十八条）。国務大臣は、その在任中、内閣総理大臣の同意がなければ訴追されません（第七十五条）。
日本国憲法第6条・第67条・第68条・第75条、Wikipedia「内閣総理大臣」を参考にAIが作成。